无限领域的力量最本质的是公理规则，其中最核心的是每一个无限集合都包含的无穷公理。

除此之外，无限领域的力量在具体的表现上很朴实无华，几乎都表现为操控事件发生的概率。

还有五十亿年寿命的太阳有概率在下一瞬就熄灭？那就熄灭它。

直径十万光年的银河系有可能突然跳到万亿光年外的不可观测宇宙？那就实现它。

看起来就和心想事成、俺寻思之力一样。

但这些事件并不是随便想想就能凭空实现的，“思考”、“想象”也需要物质基础支撑，没有超越物质的心灵。

想要实现那些在正常状况下难以发生的小概率事件，在有限的物质宇宙中必须要消耗这些事件对应的能量。

一切乱七八糟花里胡哨的能力，什么矢量操控、空间挪移、时间停止、掌握四大基本力之类的。

通通都可以归结为无限非概率引擎的能力，源于量子比特无限复制，创造出无穷平行宇宙与时间长河的力量。

这种操控可能性的引擎借用了宇宙真空本身的力量，利用永恒暴胀的无尽能量让那些小概率事件化为现实。

计算概率需要用到样本空间的概念，它是由所有可能的结果构成的集合。

以简单的抛硬币为例，抛掷十次硬币，共有2^10种不同的可能性。

每一个结果出现的概率为1/2^10，包含10比特的信息量。

由这些不同的抛硬币结果构成的集合就是一个样本空间。

有限的物质宇宙中事件的概率，无论是太阳突然熄灭，还是银河系突然跳跃到可观测宇宙之外，这些事件发生的可能性都是0～1之间的有理数。

由概率与信息的关系可知，这些事件包含的信息量都是有限的。

因此，有限宇宙中所有可能的事件构成的样本空间就是一个可数无限集合。

到了无限领域，无限非概率引擎进一步蜕变，成为了更强大的超图灵机。

这些拥有着神之力量的超级计算机的能力不再局限于概率在实数范围内的事件。

它们让那些有限的凡人永远不可能实现，发生概率为实无穷小的事件也可以成为现实。

同时，因为事件发生的可能性达到了实无穷小，每一个事件包含的信息量就变成了无限大数。

由所有可能的事件构成的样本空间也变成了更庞大的不可数无限集合。

这种涉及到无限领域的概率在原本的实数体系中是难以精确计算的。

实数里没有无限大数和无限小数，只能把这些有限的凡人永远不可能实现的神迹统一称作概率为零。

“微积分中也有高阶无穷小，把实数体系中处理的潜无穷小的变量换成超实数体系中实无穷小的数也是一样的道理。”

“在康威用全新的规则创造的数学宇宙中，无限大数和无限小数就像是普通的实数一样，在数轴上有序分布，可以彼此比较大小，也可以进行四则运算。”

“发生概率同为实无穷小的事件，彼此也包含着不同的信息量。”

李恒伸手敲了敲黑色的大石头，就像是面对着一块黑板一样，用白色的粉笔在上面写下了两个数。

ε=({0}丨{1，1/2，1/3…})

ω=({1，2，3…}丨?)

“无限小数ε显然就是无限大数ω的倒数，ε×ω＝1。”

“不仅如此，康威在第?日以后又继续创造出了许多个大于所有整数，却又不及玄极的数。”

“比如ω-1，ω-2等等。”

“这些无限大数小于ω，因此它们的倒数是比ε更大的实无穷小，在数轴上位于ε的右侧。”

“在这套规则定义的数学宇宙中，有许多事件的可能性是无穷小，但又比普通的无穷小概率更大。”

『康威语诸数：多产以乘。』

『以一数之一部与另一数相乘之积，加该数与另一数之一部相乘之积，差以该两部自身相乘之积。』

『依此作去，穷尽可能，终得积数：其左集为同部运算之所得，其右集为异部运算之所得也』

这是乘法的规则。

0×y=0，这种性质对于ω、2ω等等无限大数也都成立，不会出现0×∞不为零的奇怪情况。

在第2?日，2ω成为了所有数中最大的数。

与它在同一天诞生的还有1/2ω，2ε和1/2ε。

1/2=({0}丨{1})

ε=({0}丨{1，1/2，…})

ω=({1，2，…}丨?)

利用乘法规则可以得到1/2ω

({1，2，…}丨{ω-1，ω-2…})

这个数字看起来就像是从数轴上ω所在的位置出发，向着左侧零点方向走出了无限个单位长度，却依旧没能走到实数域的范围。

时间流逝，到了到第?^2日、?^?日，超穷序数ω^2，ω^ω等等也都会在这套规则下诞生。

与这些数字一同诞生的是一些更复杂的数字，比如

第737章 神上神

ω^1/2≡({1，2…}丨{ω，ω/2，ω/3…})

ε^1/2≡({ε，2ε…}丨{1，1/2…})

这两个数字的复杂度与ε^2，ω^2相同，都是在第?^2日诞生的。

康托尔的朴素集合论中定义的超穷序数对应的是图灵度层级，也就是一个数的算法复杂度。

在康威的规则中，这些超穷序数则是每一个数的生日。

每一个超穷序数在诞生之时都出现在数轴的最右侧。

它们在已有数字的边缘从虚无的空集中诞生，是当日创造的最大的数。

因此，只有第?+1日，而不会有?-1日。

ω-1这个数在ω诞生的下一日才被创造出来。

它虽然比ω小，却比ω更复杂，包含的信息量更多，需要ω+1次计算才能得到结果。

随着越来越大的超穷序数诞生，这条全新的数轴在变得更长的同时，也在变得越来越复杂，分布在数轴上的数变得前所未有地稠密。

数轴上所能测量的最小尺度从第?日的实无穷小ε，到第?^2日变成了ε^2，一个比实无穷小还要更小无穷倍的长度。

这些线段在实数构成的数轴上是不存在的，它们都会被认为是退化的线段，等同于长度为零，没有大小的点。

“ω^ω，不动点ε0、ε1等等，此前我们在讨论图灵度层级时提到过的所有集合论中的超穷序数都会被创造出来。”

“并且它们会摇身一变，成为分布在这条全新数轴上的一个数，就和普通的数一样可以进行四则运算。”

“每一个超穷序数都有着与之对应的无限小数，这些无限小数是数轴上的一段非零长度。”

“从这些无限小数的身上，就能明确知道一台超图灵机的力量可以实现何种程度的神迹。”

李恒从地上起身，看向沙滩旁那片一望无际的蓝色海洋，看向那个遥远的静止小世界。

“那些比凡人世界中的小概率奇迹更稀有的神迹，需要用无穷的力量才能把它们变为现实。”

“这些神迹发生的概率是可以精确计算的，1/ω、1/ω^ω，亦或者更小。”

“创造这些神迹需要付出的信息量就是与之对应的超穷序数，也就是这些小于一切实数的无限小数的诞生日。”

阿基里斯也从沙滩上站起，她知道李恒是在看那个最初的纸片人，看那个过去的她。

但她的眼中看不到那个被藏起来的小世界，即使借用了这台二星芝诺机那份不可数无限的力量。

阿基里斯想了想问道：

“这台二星芝诺机，是在第?1日诞生的？”

康威的规则是常规集合论公理的扩张。

既然采用了这种用两个集合定义一个数的方式，那么这条全新的数轴长度自然就不会仅仅限于可数无限集合的范围内。

在第?1日，比所有可数无限大数都更大的不可数无限大数诞生了。

它是ω1，这个庞大的数字需要用不可数无限次计算才能得到精确结果。

它可以看做是从数轴上的零点出发，向着右侧走出?1个单位长度后抵达的位置。

同时，就像?日诞生的实数宇宙和超实数一样，数轴上分布的数在这一日再次骤然扩张，数量从?1跳跃到了?2。

“数轴越长，数轴上的数就越密集，数轴上能找到的最小长度就越短。”

“就在这个全新的无限大数诞生的那一天，一个比原来的所有无穷小都还要更小的无限小数也同时诞生了。”

李恒转过身，他伸手轻轻敲了敲阿基里斯胸前的那枚粉白色螺旋状钥匙，在那里添上了一颗小星星，笑了笑道：

“现在它是一台三星芝诺机了。”

“但想要抵达我所在的世界，这点力量还远远不够。”

说到这里，他话锋一转道：

“想去看一看我诞生的世界么？去见一见那个过去的你。”

说这话的语气听起来就像是带朋友回家去看自己收藏的手办一样。

阿基里斯听了毫不迟疑地点头。

下一瞬，空间破碎，阳光、沙滩、海浪消失无踪，两人来到了一个全新的世界。

连续的数轴再一次被超实数所切割，出现了更多的空隙，每一个空隙都是一条长度为1/ω1的线段。

这些线段在之前的超实数世界中看起来是一个没有大小的点，但实际上却隐藏着比那里的整个世界还要广阔的无尽世界。

他们并没有就此停留。

就像是在毕达哥拉斯统治的那个有理数世界中所做的一样，隐藏在不可知之处的无穷小世界被放大、尔后显现出那些更小的世界。

“?2，?3，…?ω，?ω^ω…”

阿基里斯没有空余的心思去看清眼前那些一闪而逝的新世界。

她只是低着自己的脑袋，睁大了眼眸，努力地细数着这台芝诺机上数量疯狂增长着的小星星。

那些星星数量增长的速度远远超过她孱弱的大脑所能想象的范围，不过转念之间便已然远远超过了之前在康托尔那里提及的阿列夫无限。

他们正在潜入这个世界的深处，远比量子比特海洋更深、更远的区域，一个根本没有尽头的深渊。

太遥远了，从离散到连续的世界远比一次幂集公理的跳跃远得多，比无穷次幂集公理的跳跃也远得多。

那个小世界到底隐藏在多么隐秘的地方？这家伙把那个纸片人也藏得太好了吧。

“不，这种想法不对。”

阿基里斯突然摇了摇头，停止了那无用的数星星行动，抬起头道：

“我明白了，我们此刻所在的世界与连续统的距离，应该和之前那些世界一样远。”

“不管是切割一次，还是切割无限次、不可数无限次，都不可能找到数轴上不可再分的最小元素，从有长度的线段抵达没有长度的点。”

回忆起在毕达哥拉斯的世界中寻找无穷小的过程，她终于明白了离散和连续之间那不可触及的距离究竟有多遥远。

康托尔定义的常规集合论规则是没有尽头的。

在幂集公理的规则范围内，无论是多大的集合λ，总能创造出比它更大的幂集2^λ。

有了更大的幂集，用康威定义的规则，就能创造出与这些集合对应的新数。

数轴的长度因此可以被扩张到比λ更长的2^λ，同时创造更小的无限小数，把数轴分割成更微小的线段。

如此分割，无穷无尽。

“没错，无穷无尽。”

阿基里斯想明白了。

她举起那台已然进化到可怕程度的芝诺机，看向一旁嘴角带着些许微笑的李恒，有些不忿地道：

“不想带我去你家就直说。”

“切割了这么久，其实根本就没有半点作用。”

就像力量局限在有限世界的毕达哥拉斯永远也找不到隐藏在有理数间隙之中的无穷小世界那样。

无论是?1、?ω，还是远比它们更大的阿列夫数，它们面对着康威创造的这条可以无尽切割、无限延伸的新数轴，就像是有限和无限之间的差距。

这种熟悉的感觉就和有限的凡人面对着无限的神一模一样。

如果说无限的世界对有限的凡人而言是不可抵达的神之领域，那么连续统对于无限的神而言同样也是不可抵达的神之领域。

有限的数，无论定义何种运算方式，弄出一堆高德纳箭头，创造一堆宇宙都装不下的大数，它们和无限的距离也不会比0更接近。

无限是无法通过常规运算方式抵达的，只能用一个不证自明的无穷公理来保证无限集合的存在。

现在，来到了无限领域，理解了这个超越有限凡人的神之领域的力量以后，阿基里斯遇到了第二个具有这种性质的存在。

连续统是一个用幂集公理无法抵达的世界。

用幂集公理构造阿列夫数的无尽跳跃过程，就如同有限世界中的潜无限一样。

这些无限大数可以永无止尽地增大，但它们与连续统的距离，就像有限的凡人与无限的距离一样遥远。

那里是凌驾于一切无限的神之上，神上之神所在的世界。

仅仅使用常规的幂集公理，无论取多少次幂集，都不可能从离散的点变成连续的线。

想要做到点动成线，必须使用普通的集合论中没有的公理规则。

用一个新的，类似于无穷公理的公理规则，来保证连续统的存在。

李恒轻轻磨了磨牙齿，那里有一颗无法被他吞噬的，不可描述的点。

在幂集公理的范围内，无论切割数轴多少次，都不可能找到这个不可描述的点。

这个来自于真实界的终末节点，它内部的庞大力量仅仅用来毁灭一个自然数集合范围内的物质宇宙，用大炮打蚊子都不足以形容。

这个终末节点是存在于连续统上的真正奇点。

它的内部包含了常规集合论中没有的公理，这类公理是无穷公理的延伸。

存在一个基数κ，满足性质对任何小于κ的基数λ，都有2^λ

基数κ无法通过常规的运算方式自下而上抵达。

第一个满足这条性质的基数是?0，凌驾于有限的凡人世界之上的神之领域。

第二个就是连续统的基数，凌驾于一切阿列夫数之上的大基数。

不可达基数。